Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = - 4 x^{2} + 60 x - 122$

Paso 1

El máximo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es negativa, el valor máximo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{60}{2 (- 4)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{60}{2 (- 4)}$

Paso 2.3

Simplifica $- \frac{60}{2 (- 4)}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $60$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $60$ .

$x = - \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot - 4}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 30}{2 (- 4)}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot 30}{2 \cdot - 4}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{30}{- 4}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $30$ y $- 4$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$x = - \frac{2 (15)}{- 4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot - 2}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot - 2}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{15}{- 2}$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{15}{2}$

Paso 2.3.4

Multiplica $- - \frac{15}{2}$ .

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $\frac{15}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{15}{2})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{15}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{15}{2}) = - 4 {(\frac{15}{2})}^{2} + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 4 \frac{15^{2}}{2^{2}} + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 4 \frac{225}{2^{2}} + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 4 (\frac{225}{4}) + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (\frac{15}{2}) = 4 (- 1) (\frac{225}{4}) + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{15}{2}) = 4 \cdot (- 1 (\frac{225}{4})) + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{15}{2}) = - 1 \cdot 225 + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 60 (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $60$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 2 (30) (\frac{15}{2}) - 122$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 2 \cdot (30 (\frac{15}{2})) - 122$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 30 \cdot 15 - 122$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $30$ por $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = - 225 + 450 - 122$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.1

Suma $- 225$ y $450$ .

$f (\frac{15}{2}) = 225 - 122$

Paso 3.2.2.2

Resta $122$ de $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = 103$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $103$ .

$103$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el máximo.

$(\frac{15}{2}, 103)$

Paso 5